Marianne Freiberger : A spirál kibontása - Matematika és hallucinációk
2011.05.31
A cikket forditotta : Strophariad | orichalcum workshop
Az eredeti cikk: http://plus.maths.org/content/uncoil..
Ha a drogok által előidézett hallucinációkról van szó, az embernek rögtön a pörgő spirál-, vagy az alagútszerű minták pszichedelikus képe ugrik be. Azonban nem csak a hallucinogének, mint az LSD, a meszkalin vagy a kannabisz, képesek előidézni ezeket a geometrikus szerkezeteket. A beszámolók tanúsága szerint felbukkannak többek között a halálközeli élmények során, az olyan rendellenességek eredményeképpen, mint a skizofrénia vagy az epilepszia, a szenzorális deprivációt követően, sőt még akkor is, ha nyomást gyakorlunk a szemgolyóinkra. A geometrikus hallucinációk voltaképpen annyira gyakoriak, hogy a tudósok végül feltették a kérdést, hogy le tudnának-e rakni valamiféle alapot az agy vezetékhálózatának felépítettségével kapcsolatban. Márpedig úgy tűnik, hogy igen.
A geometrikus hallucinációkat először a német-amerikai pszichológus, Heinrich Klüver kezdte el szisztematikusan tanulmányozni az 1920-as évek során. Klüver érdeklődése a vizuális érzékelés iránt arra sarkallta őt, hogy kísérleteket végezzen a peyote kaktusszal, mely Carlos Castaneda révén tett szert hírnévre, és melynek pszichoaktív anyaga, a meszkalin, rendkívül fontos szerepet játszott a közép-amerikai indiánok szertartásaiban. A meszkalinról tudva levő volt, hogy tüzijáték-szerű vizuális hallucinációkat idéz elő. Miután a laboratóriumban terítékre került a peyote, és az asszisztensével fogyasztottak is belőle, Klüver a meszkalin által kiváltott hallucinációk özönében folyamatosan ismétlődő geometriai mintákra lett figyelmes, amiket négy csoportba osztott, és amiket formaállandóknak nevezett el: alagutaknak, tölcséreknek, spiráloknak, valamint rácsozatoknak, mely utóbbiak lehetnek méhsejtekből vagy háromszögekből állóak, vagy pókháló-szerűek.
Számítógép által generált formaállandók. A felső két ábra egy tölcsért és egy spirált ábrázol, melyeket LSD fogyasztása után szoktak észlelni; alul a bal oldalon marihuána által előidézett méhsejt-rácsozat látható, jobbra pedig egy pókháló.
Az 1970-es években két matematikus, Jack B. Gowan és G. Bard Ermentrout, Klüver besorolását használták fel arra, hogy felállítsanak egy olyan elméletet, amely leírná, hogy mi is történik olyankor az agyunkban, amikor elhiteti velünk, hogy geometrikus mintákat látunk. Elméletüket azóta több tudós is feldolgozta, többek között Paul Bressloff, a Matematikai és Számítási Idegtudomány Professzora a nemrégiben megalapított Alkalmazott Matematika Oxfordi Központjában.
Ahogyan a kortex a csíkjait kapja…
Az emberek és a többi emlős esetében a kortex legkitoltabb területe, mely feldolgozza a vizuális információkat, a V1 jelzést viseli. Kísérleti bizonyítékok, például az fMRI-letapogatás, arra engednek következtetni, hogy Klüver mintái is főleg a V1-ben gyökereznek, semmint inkább a vizuális rendszer hátsóbb részeiben. Csakúgy, mint az agy többi része, a V1 is egy komplex, redőzött és összehajtott szerkezettel bír, mégis van egy meglepően pontos módszer arra, hogy hogyan fordítsuk le azt, amit a látómezőnkben látunk, a V1 neurális aktivitására. „Képzeljük el, hogy kibontjuk [a V1-et],” mondja Bressloff. „Gondolhatunk úgy is rá, akár egy neurális fátyolra, mely neuronok különböző rétegéből áll. Első megközelítésre a neuronok a kortex mélységén keresztül hasonlóan viselkednek, így tehát ha összetömörítjük azokat a neuronokat, akkor úgy is gondolhatunk a V1-re, mint egy kétdimenziós lepelre.”
A vizuális kortex: a V1 a vörös területen helyezkedik el.
Egy tárgy vagy egy jelenet a vizuális világban kétdimenziós képként vetül a retinánkra, így a vizuális mező, amit látunk, az tulajdonképpen egy lapként is kezelhető. Ezen a lapon minden pontot két koordináta határoz meg, akár egy másik pontot a térképen, vagy egy újabbat a V1 sík modelljén. A világos és a sötét váltakozó régióit, melyekből a geometrikus hallucinációk felépülnek, a V1 neurális aktivitásának alacsony és magas régiói idézik elő – azok a területek, ahol a neuronok sebesen ropognak, és azok, ahol pedig kevésbé sebesen. Hogy a vizuális mintákat lefordítsuk a neurális aktivitás nyelvére, szükségünk van egy koordináta térképre, mely a vizuális mező minden egyes pontját hozzárendeli egy másik ponthoz a V1 sík modelljében. Az 1970-es években a tudósok, beleértve Cowant is, megterveztek egy ilyen leképezési térképet, mely azon folyamat anatómiai ismeretére épült, ahogyan a retina neuronjai a V1 neuronjaival kommunikálnak. A vizuális mező minden egyes sötét vagy világos régiójához hozzárendeli a V1 valamelyik alacsony vagy magas neurális aktivitású régióját.
Hogyan alakítja át tehát ez a retino-kortikális térkép Klüver geometrikus mintáit? Az derül ki, hogy az olyan hallucinációk, mint a spirálok, a körök és a sugarak, abból a központból erednek, ami a V1 neurális aktivitásának sávjaival van kapcsolatban, melyek adott szögben hajlanak el. A méhsejt-szerű rácsozatok vagy a sakktábla-minták a V1 hexagonális aktivitási mintáival állnak összefüggésben. Ez önmagában talán még nem tűnik annyira izgalmasnak, de talán, ha megvizsgáljuk az irányadó esetet: a tudósok éppen ilyen csíkokat és hexagonokat láttak, amikor a mintázatok formációnak más példáit vizsgálták, mint például a folyadékok hőáramlása, vagy ami meglepőbb, az állatok bőrén megjelenő csíkok és pettyek esetében. A matematika, mely eme minták formációját vezérelte, eddig is jól ismert volt, most azonban immár a vizuális kortex működésének modellezésére is felhasználhatónak bizonyult…
|
A vizuális mezőtől a vizuális kortexig
Képzeljük el a vizuális mezőt egy rajzlapként poláris koordinátákkal ellátva: a mezőben minden P pontot két szám (r, θ) határoz meg, ahol r a távolság az O kezdőponttól, a θ pedig az OP vonal és az x-tengely által bezárt szög. A kezdőpont a vizuális mező központjának felel meg. A V1-et is modellezhetjük rajzlapként, melyre ezúttal a hagyományos karteziánus koordináták kerülnek (x, y). A V1 és a vizuális mező közötti pontos koordináta leképezést bonyolult lenne leírni, de a vizuális mezőben elhelyezkedő pontok szempontjából, melyek távol vannak a központtól (az r tehát elegendően nagy), az egész a logaritmikus leképezésre hasonlít.
x = ln r y = θ
Ez a leképezés a vizuális mezőben az r sugár körét egy függőleges egyenes vonallá transzformálja az x =ln r esetében, a sugarat pedig, amely θ szögben nyúlik ki az O kezdőpontból, egy horizontális egyenes vonallá az y = θ esetében.
|
…és ahogyan a leopárd a pettyeit
Az állatok bőrfelületén megjelenő minták formációjának első modellezése Alan Turing, a modern számítógép-tudomány atyja, és Bletchley Park, kódfejtő, nevéhez kapcsolódik. Turing számára az volt az érdekfeszítő, hogy egy olyan térbelileg homogén rendszer, mint a sejtlabda, amely felépít egy állati embriót, hogyan tud létrehozni egy olyan térbelileg inhomogén, ám de statikus mintázatot, mint amilyenek a zebra csíkjai.
Turing hipotézise szerint ezek a mintázatok egy reakció-diffúzió folyamat eredményei. Képzeljünk el egy állati embriót, melynek két kémiai anyag létezik a bőrében. Az egyik a kettő közül gátló, mely akadályozni kívánja mind saját maga, mind a másik anyag termelését, míg a másik anyag inkább aktiváló, mely támogatja önmaga és a „partnere” termelését.
Kezdetben, Turing modelljének megfelelően, a két kémiai anyag pontosan egyensúlyban van egymással – koncentrációjuk az embrió különböző pontjain nem változik. De most képzeljük el, amint az egyik ponton az aktivátor koncentrációja valamilyen oknál fogva csekély mértékben megnő! Ez a zavar beindítja a rendszert. Az aktivátor magasabb koncentrációja azt jelenti, hogy azon a részen több aktiváló és gátló kezd el termelődni – ez pedig egy reakció. Így azonban mind a két anyag szétoszlik az embrió bőrének felületén, máshol akadályozva vagy elősegítve a termelődést.
Ha a gátló gyorsabban terjed például, mint az aktivátor, akkor gyorsan szétterjed a zavar pontja körül, és lecsökkenti az aktivátor koncentrációját. Végül pedig azt találjuk, hogy van egy magas koncentrációjú aktivátor-régió magas gátló koncentrációtól határolva – más szavakkal egy aktivátor foltra bukkanunk a gátló háttéren. A két anyag eloszlásának arányától függően, lehetségessé válik, hogy egy ilyen pettyes mintázat jöjjön létre szerte az embrió bőrfelületén, és végül stabilizálódjon. Ha az aktivátor is támogatja a pigment-generációt az állat bőrén, akkor ez a mintázat láthatóvá válik.
Turing papírra vetett egy sor differenciálegyenletet, melyek a versenyt írják le a két kémiai anyag között (lásd alább a dobozban), valamint, hogy melyiket hagyjuk kibontakozni, hogy meglássuk, kifejlődik-e bármilyen minta. Az egyenlet olyan paraméterektől függ, melyek azt az arányt foglalják magukba, amiben a két anyag szétoszlik: ha helyesen választunk, a rendszer végül stabilizálódik egy adott mintában, amit azonban a paraméterek módosításával összhangban meg is változtathatunk.
|
Állati minták egyenletei
Az egyszerűség kedvéért képzeljük el az embriót úgy, mint egy egydimenziós vonalat! Az embrió bármely t időpontján és p pontján az aktivátorok és a gátlók koncentrációját az A (x, t) és az I (x, t) funkciók adják meg. Ezek a funkciók időközben a következő szabályok szerint váltakoznak:
 Az egyenletek jobb oldalának első tagja azt írja le, hogy mennyi aktiváló/gátló anyag keletkezik. Ezek a tagok az aktivátorok és a gátlók koncentrációjának funkciói, mert hatással vannak a reakció arányára.
Az egyenletek második tagja egy második származtatott, mely azt írja le, hogy milyen sűrűn változik az aktiváló/gátló. Ezek a tagok a diffúzió arányát adják meg.
A d extra tag szintén a jobb oldalon a diffúziós együttható – megmutatja, hogy mennyivel gyorsabban oszlik szét a gátló az aktiválónál. Turing bemutatta, hogy a tényező, miszerint a gátló gyorsabban oszlik szét az aktiválónál, sarkalatos pontja az állat mintája megjelenésének.
|
Minták az agyban
A neurális aktivitás az agyban ugyan nem egy reakció-diffúzió folyamat, de fellelhetők a hasonlóságok Turing modelljével összehasonlítva. „A neuronok jeleket küldenek egymásnak az axonnak nevezett kimeneti nyúlványokon keresztül,” magyarázza Bressloff. Mivel a neuronok válaszolnak egymás jelzéseire, így már van egy reakciónk. „(A jelek) olyan gyorsan terjednek a mintázat formációjának folyamatával összehasonlítva, hogy azonnali interakcióként is felfoghatjuk. Diffúzió helyett tehát, ami inkább egy lokális folyamat, ebben a helyzetben azonnali interakcióval van dolgunk. Az aktiválók és a gátlók szerepét a neuronok két csoportja játssza. „Vannak neuronok, melyek serkentőek – nagyobb valószínűséggel aktiválnak más neutronokat -, illetve vannak gátló neuronok, melyek kevesebb valószínűséggel aktiválnak más neuronokat,” állítja Bressloff. „A verseny a neuronok két csoportja között hasonlít a Turing-modell aktiváló-gátló mechanizmusához.”
A Turing-folyamat analógiájától inspirálva Cowan és Ermentrout megszerkesztették a neurális aktivitás modelljét a V1-ben olyan egyenletek csoportját használva, melyeket Cowan és Hugh Wilson alkottak. Bár az egyenletek komplikáltabbak, mint a Turing-félék, a játék még mindig ugyanaz: hagyni, hogy idővel kibontakozzon a rendszer, valamint megfigyelni, hogy kifejlődik-e bármilyen minta a neurális aktivitás következtében. „Azt találjuk, hogy bizonyos körülmények között, ha beállítunk egy paramétert, például drogok hatását a kortexre, az majd periodikus minták ismétlődéséhez fog vezetni,” mondja Bressloff.
Cowan és Ermentrout modellje azt sugallja, hogy a geometrikus hallucinációk a V1-ben megjelenő instabilitás következményei: valami, például valamilyen drog, kibillenti a neurális hálózatot az egyensúlyából, így egyfajta hógolyó-csatát létrehozva a serkentő és a gátló neuronok között, mely a V1 neurális aktivitásában csíkozott vagy hexagonális mintaként stabilizálódik. A vizuális mezőben mi pedig végül ezt „látjuk” úgy, mint a Klüver által leírt geometriai struktúrákat.
A V1 neurális aktivitásának csíkozott, hexagonális és négyzetes mintái egy matematikai modell által generálva.
Szimmetriák az agyban
A valóságban a dolgok nem olyan egyszerűek, mint Cowan és Ermentrout modelljében, mert a neuronok nem csak a világos és a sötét képekre reagálnak. A V1 vastagságán keresztül a neuronok hiperoszlopoknak nevezett oszlopok csoportjaiba rendeződnek, mely oszlopok mindegyike szigorúan reagál a vizuális mező egy kis régiójára. Azonban a neuronok a hiperoszlopban nem teljesen ugyanolyanok: azonkívül, hogy észleli a világos és a sötét régiókat, mindegyik neuron specifikusan érzékeli egy meghatározott irány lokális peremeit is – egy kép részének világos és sötét régiói közötti választóvonalakat. Némelyikük a horizontális peremeket észleli, míg mások a vertikális peremeket, melyek 45° -ban hajlanak el stb. Minden egyes hiperoszlop neuronok további oszlopait tartalmazza valamennyi orientációs beállítottság szerint, így egy hiperoszlop a vizuális mező egy adott régiója minden irányának peremére tud reagálni. A hiperoszlopok tagoltsága és az orientációs beállítottságok miatt lehetséges számunkra, hogy a vizuális mezőben kontúrokat, felszíneket és szöveteket észleljünk.
Az elmúlt években több anatómiai bizonyíték is összegyűlt arra nézve, hogy a neuronok a különböző orientációs beállítottságukkal, hogy lépek kölcsönhatásra egymással. Saját hiperoszlopaikban a neuronok hajlamosak interakcióba lépni egymással az orientáció beállítottságától függetlenül. Más hiperoszlopk neuronjaival azonban már szelektívebbek: csak a hasonló orientációs beállítottságúakkal lépnek kölcsönhatásba, mely számunkra pedig azt biztosítja, hogy folyamatos kontúrokat érzékeljünk a vizuális világban.
Kapcsolódások a V1-ben: egy hiperoszlopban egy neuron rendszerint együttműködik a legtöbb neuronnal. Azonban csak akkor lépnek kölcsönhatásba más hiperoszlopok neuronjaival, ha az oszlopok a nekik megfelelő irányba néznek, valamint ha a neuronjaiknak ugyanaz a beállítottságuk.
Bressloff – Cowan társaságában -, a matematikus Martin Golubitsky és mások úgy terjesztették ki Cowan és Ermentrout modelljét, hogy az ezeket az új anatómiai bizonyítékokat is figyelembe vegye. A V1 modelljeként megint a síkot használták: a síkban minden hiperoszlopot egy pont (x, y) reprezentál, miközben pedig minden ilyen pont egy másik hiperoszlophoz kapcsolódik. Az adott θ (ahol θ a 0 és π által bezárt szög) orientációs beállítottsággal rendelkező neuronokat ama hiperoszlopok helyzete (x, y) jelzi, amelyikben ők maguk vannak; a θ szöggel együtt pedig az x, y és θ információ-hármas reprezentálja őket. Ebben a modellben tehát a V1 nem csak egy sík, hanem egy sík az orientációs beállítottságok teljes készletével minden pont számára.
Az anatómiai bizonyítékokkal összhangban Bressloff és kollégái arra a következtetésre jutottak, hogy egy neuront az ugyanabban a hiperoszlopban (x0, y0) megtalálható neuronokkal való kölcsönhatása (x0, y0, θ0) reprezentál. Azonban csak más hiperoszlopokban lévő neuronokkal lép interakcióra, ha ezek a hiperoszlopok a nekik kedvező θ0 irányban fekszenek: a síkon húzzunk egy vonalat keresztül a θ0 dőlésszögön! Ennek következtében a neuronok, csak olyan neuronokkal lépnek kölcsönhatásba (x0, y0, θ0), melyek olyan hiperoszlopokban találhatóak meg, amelyek ezen a vonalon helyezkednek el, és amelyeknek ugyanaz a θ0 orientációs beállítottságuk.
Az interakció eme mintái rendkívül szimmetrikusak. A mintázat például akkor sem tűnik másnak, ha elmozdítjuk a síkot egy adott irányba egy adott távolságra: ha két elem, (x0, y0, θ0) és (s0, t0, φ0), kölcsönhatásba lép egymással, akkor az elemek, amiket az elmozdítással kapunk, azaz (x0 + a, y0 + b, θ0) és (s0 + a, t0 + b, φ0), ugyanúgy lépnek kölcsönhatásba egymással. Hasonlóképpen, a minta is állandó marad a sík forgatása és tükrözése közben.
Ha két elem (x, y, θ) és (s, t, φ) interakciót kezdeményez egymással, ugyanígy járnak el a megegyező orientáció elemei (x + a, y + b,) és (s + a, t + b,) esetében is, illetve a –θ orientáció elemei is (x, -y) és (s, -t) esetében.
Bressloff és kollégái az eredeti modell egyenleteinek kiterjesztett verzióját alkalmazták a rendszer kibontakoztatása végett. Az eredmény egy olyan modell lett, mely nem csak precízebben működik a V1 anatómiájának tükrében, de a geometrikus mintákat a vizuális mezőben is megjelenítette, amelyre az eredeti nem volt alkalmas. A rácsozatokat, az alagutakat, a méhsejt-szerkezeteket és a pókháló-szerű mintázatokat jobban meg lehet érteni a kontúrjaik orientációjával kifejezve, mint a világos és sötét régiók váltakozásával.
Egy rácsozatokból álló alagút hallucinációjának matematikai modell által generált képe. Erősen hasonlít azokra az ábrákra, amiket marihuána fogyasztása után szoktak észlelni.
Mi több, a modell érzékeny a neuronok interakciós mintáinak szimmetriáira: a matematika azt mutatja, hogy ezek a szimmetriák irányítják a neurális aktivitás periodikus mintázatait. A modell tehát azt sugallja, hogy a hiperoszlopok tagoltsága és az orientációs beállítottság az alapja annak a mechanizmusnak, ami lehetővé teszi számunkra, hogy a vizuális világban peremeket, körvonalakat, felszíneket és szöveteket észleljünk, illetve ami a hallucinációk alapjául is szolgál. Amikor ez a mechanizmus instabillá válik, például valamilyen drog hatása következtében, a neurális aktivitás eme mintái meglódulnak és vizuális hallucinációk képében kerülnek lefordításra.
A hallucinációkon túl
Bressloff modellje nem csak belátást nyújt a mechanizmusba, mely a vizuális hallucinációkért felelős, de tágabb értelemben nyomravezető jelekkel is szolgál az agy felépítését illetően. Feleségével – aki kísérleti idegtudós – együttműködve Bressloff megvizsgálta a hiperoszlopok közötti kapcsolódási áramköröket a hétköznapi látás közben, hogy lássa, a vizuális képek hogyan kelnek életre. „A többség úgy gondolta, hogy a neuronok a V1-ben csak a lokális peremek észleléséért felelősek, és hogy az agy magasabb szintjeire kell átlépnünk, hogy ezeket a peremeket összerakhassuk a bonyolultabb kontúrok és felszínek észlelése végett. De a munkám során, amit a feleségemmel végeztem, azt találtam, hogy valójában ezek a szerkezetek a V1-ben igenis lehetővé teszik a külső vizuális kortex számára is a körvonalak észlelését, valamint hogy globálisabb folyamatokban is részt vegyen. Az az elképzelés volt elfogadott, hogy egy kép úgy válik egyre komplexebbé, ahogy egyre magasabb szintekre hatolunk az agyban. Most azonban rájöttünk, hogy nagy mennyiségű visszacsatolás van jelen az alacsonyabb és a magasabb kortikális régiók között. Itt nem egy egyszerű hierarchikus folyamatról van szó, hanem egy elképzelhetetlenül bonyolult és aktív rendszerről, aminek megértése még sok évet fog igénybe venni.”
Eme modell egyik gyakorlati alkalmazásaként a számítógépes látás merül fel – a számítógép-tudósok már építik is azokat az összeköttetettségen alapuló struktúrákat, melyeket Bressloff és kollégái szerkesztettek bele modelljükbe, s mindezt azzal a céllal, hogy megtanítsák a számítógépeket észlelni a körvonalakat és a textúrákat. Ugyan ez még egyenlőre csak spekuláció, de Bressloff modellje egy nap talán segíthet helyrehozni a látáskárosultak vizuális érzékelését is. „A kérdés az, hogy lehet-e stimulálni a vizuális kortex egy részét (a szemre gyakorolt nyomás által), majd felhasználni mindezt arra, hogy egy vak személyt vezessünk,” mondta Bressloff. „Ha megértjük, hogy a kortex miképpen van felhuzalozva, illetve hogy hogyan reagál a stimulációra, akkor talán rájövünk, hogy ezt a stimulációt hogyan lehetne helyesen felhasználni.”
Olyan alkalmazások is megjelentek azonban, melyeknek semmi köze sincs az agyhoz. Bressloff a munkája eredményeit olyan területre is átköltöztette, ahol a tárgyak a térben helyezkednek el és az orientációjuk is megvan, mint például az emberek és az állatok szöveteiben is megtalálható fibroblaszt sejteknek. Kimutatta, hogy bizonyos körülmények között ezek a kölcsönhatásban álló sejtek és molekulák elrendeződésüket illetően, illetve ahogy mintákat alkotnak, a V1-ben megfigyelt jelenségeket utánozzák.
A vizuális hallucinációk az idők kezdete óta jelen vannak valamennyi emberi kultúrában – sok barlang-, és sziklarajz is megörökítette őket. A sámánisztikus hagyományokban a szellemvilágból érkező üzenetekként tekintettek rájuk. Ma alighanem kevés idegtudós értene egyet azzal, hogy a szellemeknek bármi közük lenne a jelenséghez, azonban, mint közvetítők egy rejtett világból – ezúttal az agyunk rejtett birodalmából – eme hallucinációk láthatóan nem vesztettek semmit potenciáljukból.
Hozzászólások
Hozzászólások megtekintése
Nincs új bejegyzés.